Лекция 9.

§18. Вычисление несобственных интегралов I-го рода от функции действительной переменной с помощью вычетов.

1. Лемма 1. Теорема 1. Примеры 
2. Лемма 2 (Жордана). Теорема 2. Примеры
1. Лемма 1. Теорема 1. Примеры

Лемма 18.1 Пусть f(z)C(|z|>R0 Imz>0), за исключением конечного числа изолированных особых точек и |f(z)|<M/|z| 1+ d , d >0. Тогда  f( x =0.
(C'R - полуокружность |z|=R Imz>0).
Доказательство.
При R>R0: |f( x )d x ||f( x )|ds<M p R/R1+ d = M p /R d 0 при R n .
Замечания.
1.    Если условия Леммы 18.1 выполнены при j 1<arg z< j 2 , то  f( x )d x =0.
(C'R - дуга окружности, лежащая в данном секторе: |z|=R ( j 1<arg z< j 2))
2.    Условия Леммы 18.1 будут выполнены, если f(z) является аналитической в окрестности z , которая является нулем не ниже второго порядка для f(z).
Теорема 18.1. Пусть f(x) задана при -<x< и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z0, имеющее конечное число изолированных особых точек z n , не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы 18.1 . Тогда $ несобственный интеграл I-го рода  f(x)dx=2 p i Выч[f(z),z n].
Доказательство. При R>R0 рассмотрим замкнутый контур (-R<x<R)C'R{|z|=R Imz>0}. По основной теореме теории вычетов f(x)dx+f( x )d x =2 p i Выч[f(z),z n ]. Но, по Лемме 18.1 f( x )d x =0, правая часть не зависит от R =>
f(x)dx=2 p i Выч[f(z),z n] n .
Замечания.
1.    Если f(x)- четная (f(-x)=f(x)) и удовлетворяет условиям Теоремы 18.1, то
f(x)dx= p i Выч[f(z),z n]
2.    Имеет место аналогичная теорема, когда аналитическое продолжение f(x) в нижнюю полуплоскость удовлетворяет условиям, аналогичным условиям Леммы 18.1 для нижней полуплоскости.
Пример. f(z)=; f(z)dz=
=2 p iВыч[ ,ei p /n]=(z0=ei p /n -полюс 1-порядка)=
=2 p i/(nei p (n-1)/n)=-2 p i/(ne-i p /n ). С другой стороны, 
f(z)dz=f(z)dz+f( x )d x + f(z)dz .При Rвторое слагаемое 0
(по Замечанию 1 к Лемме 18.1 ) . В третьем слагаемом z=xe i2 p /n (f( xe i2 p /n)=f(x)) . Устремив R, получим  f(x)dx-ei2 p /nf(x)dx= (1-ei2 p /n)f(x)dx=-2 p i/(ne-i p /n) =>f(x)dx=-2 p i/[(ne-i p /n) (1-ei2 p /n)]= p /(n sin p /n).

2. Лемма 2 (Жордана). Теорема 2. Примеры

Лемма 18.2 (Жордана). Если f(z)C(|z|>R0 Imz>0) за исключением конечного числа изолированных особых точек и f(z)=>0 при |z|(равномерно по arg z,
0 arg z p ), z Imz>0, то при a>0  eia x f( x )d x =0, C'R - полуокружность
|z|=R Imz>0.
Доказательство . "e> 0 $ R : |f(z)|< e( R ) , |z|>R, причем e( R ) 0 при R.
При R>R 0: |eia x f( x )d x ||eia x f( x )|ds
{ x =Rei j =x+iy,x=Rcos j , y=Rsin j , ds=Rd j ,  eia x =eia(x+iy)= eiaxe-ay, |eia x |=e-ay=e-ay= =e-aRsin j } e R|eia x |d j = e Re-aRsin j d j  =2 e Re-aRsin j d j<
 <{sin j (2/ p ) j при 0 jp /2}<2 e Re-aR(2/ p ) j d j = pe (1-e-aR)/a 0 при R ,
т.к. e( R ) 0 при R (a>0) n .
Замечания.
1    Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана  при Imz 0,
то при a<0  eia x f( x )d x =0, C'R - полуокружность |z|=R Imz<0.
2.    Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана    при Rez0,
то при a=i a ( a >0) e- ax f( x )d x =0, C'R - полуокружность |z|=R Rez>0.
3.    Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана  при Rez0,
то при a=-i a ( a >0) e ax f( x )d x =0, C'R - полуокружность |z|=R Rez<0.
4.    Лемма Жордана   остается справедливой, когда f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана   при Imz y0 (Rezx0; Imzy0; Rezx0), y0 (x0 )- фиксированное число, которое может быть как >0, так и <0, а интегрирование производится по дуге полуокружности |z-i y 0|=RImz>0 (|z-x0|=RImz>0; |z-i y0|=RImz<0; |z-x0|=R Imz<0). Доказательство аналогично, но при оценке интеграла следует сделать замену x =Rei j +iy0 ( x =Rei j +x0).
5.    Лемма Жордана   остается справедливой и при ослабленных условиях на f(z). Пусть f(z) при Imz>y 0 при |z|>R0 , равномерно относительно arg(z-iy 1 ) при |z|f(z)=>0 в секторах - j 0arg(z-iy1) j 1, p - j 2arg(z-iy1) p + j 0 , и равномерно ограничена в секторе j 1arg(z-iy1) p - j 2 ,  где 0 j 0, j 1, j 2 p /2 и y 1>y0 . Тогда при a>0
eia x f( x )d x =0, C'R - полуокружность |z-iy1|=RImz>y0.

Теорема 18.2 Пусть f(x) задана при -<x< и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z0, имеющее конечное число изолированных особых точек z n , не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы Жордана . Тогда $ eiaxf(x)dx=2 p i Выч[e iazf(z),zn ], где z n - изолированные особые точки в верхней полуплоскости Im z 0.
Доказательство. При R>R0 рассмотрим замкнутый контур
(-R<x<R)C'R{|z|=R Imz>0}. По основной теореме теории вычетов
eiaxf(x)dx+eia x f( x )d x =2 p i Выч[e iazf(z),zn ]. Но, по Лемме Жордана
eia x f( x )d x =0, правая часть не зависит от R =>
=> eiaxf(x)dx=2 p i Выч[e iazf(z),zn] n .
Пример.  (k>0, a>0)== == Re p iВыч[ ,ia] =(z0 = ia -полюс 1-порядка)= Re p i(e-ka/2ia)= p e-ka/2a.
Замечание. При незначительном изменении формулировок Лемм 18.1 и 18.2 они остаются справедливыми и в случае бесконечного числа изолированных особых точек f(z).
Определение . Функция комплексной переменной f(z) называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Некоторые интегралы
1. =sign(a) p /2
2.    I=, 0<a<1; I= Выч[z a-1f(z),zk]
3.    I=, 0<a<1; I= Выч[z a-1(1-z)-af(z),zk], a0=f(z).
4.    I=f(x)ln(x)dx= p i Выч[f(z)(lnz-i p /2),zk]

Назад       Вверх       Вперед